Abstract: Consideramos subgrupos finitamente gerados de $\operatorname{Diff}(S^1)$ que sejam não discretos no sentido de conterem uma sequência não trivial de elementos convergindo para a identidade. Em geral tais grupos possuem uma única medida estacionária e nós discutiremos condições para que tal medida seja absolutamente contínua. Como aplicação mostraremos que uma conjugação mensurável entre dois tais grupos coincide em quase toda a parte com um difeomorfismo.